Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^{2} + 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 2} x^{2} + 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Étape 5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Étape 6

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - \sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - \sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 6 x}}{x^{2} - 4}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 6 x}}{x^{2} - 4}$

Étape 9

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 2} x}}{x^{2} - 4}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{2} + 4} - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 2} x}}{x^{2} - 4}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{2} + 4} - \sqrt{2^{2} + 6 lim_{x \to 2} x}}{x^{2} - 4}$

Étape 10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{2} + 4} - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 + 4} - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

Étape 11.1.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{\sqrt[3]{8} - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

Étape 11.1.3

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3}} - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

Étape 11.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{2 - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

Étape 11.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{4 + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

Étape 11.1.6

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{4 + 12}}{x^{2} - 4}$

Étape 11.1.7

Additionnez $4$ et $12$ .

$\frac{2 - \sqrt{16}}{x^{2} - 4}$

Étape 11.1.8

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{4^{2}}}{x^{2} - 4}$

Étape 11.1.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 - 1 \cdot 4}{x^{2} - 4}$

Étape 11.1.10

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{2 - 4}{x^{2} - 4}$

Étape 11.1.11

Soustrayez $4$ de $2$ .

$\frac{- 2}{x^{2} - 4}$

Étape 11.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{- 2}{x^{2} - 2^{2}}$

Étape 11.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{- 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 11.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{(x + 2) (x - 2)}$