Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 1} x^{x} - 1}{\ln (x)}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{x} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez $x^{x}$ comme $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{lim_{x \to 1} e^{\ln (x^{x})} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Étape 2.2

Développez $\ln (x^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Étape 3.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{e^{1 \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{e^{1 \cdot \ln (1)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $1 \cdot \ln (1)$ en déplaçant $1$ dans le logarithme.

$\frac{e^{\ln (1^{1})} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Étape 5.1.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{1^{1} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Étape 5.1.3

Évaluez l’exposant.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{\ln (x)}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{\ln (x)}$

Étape 5.2

Divisez $0$ par $\ln (x)$ .

$0$