Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cos (x) - \sin (2 x)}{x^{2}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{x^{2}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{x^{2}}$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{x^{2}}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{x^{2}}$

Étape 5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{x^{2}}$

Étape 6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{x^{2}}$

Étape 7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0) \cdot \cos (0) - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0) \cdot \cos (0) - \sin (2 \cdot 0)}{x^{2}}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (0) - \sin (2 \cdot 0)}{x^{2}}$

Étape 9.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0) - \sin (2 \cdot 0)}{x^{2}}$

Étape 9.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0 \cdot 1 - \sin (2 \cdot 0)}{x^{2}}$

Étape 9.1.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{0 - \sin (2 \cdot 0)}{x^{2}}$

Étape 9.1.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{x^{2}}$

Étape 9.1.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 - 0}{x^{2}}$

Étape 9.1.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{x^{2}}$

Étape 9.1.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{x^{2}}$

Étape 9.2

Divisez $0$ par $x^{2}$ .

$0$