Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x + \frac{π}{6})}{x + \frac{π}{6}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x + \frac{π}{6})}{x + \frac{π}{6}}$

Étape 1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \frac{π}{6})}{x + \frac{π}{6}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $\frac{π}{6}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x + \frac{π}{6})}{x + \frac{π}{6}}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0 + \frac{π}{6})}{x + \frac{π}{6}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Additionnez $0$ et $\frac{π}{6}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{6})}{x + \frac{π}{6}}$

Étape 3.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x + \frac{π}{6}}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}}$

Étape 3.2.2

Associez $x$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{x \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{x \cdot 6 + π}{6}}$

Étape 3.2.4

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{6 x + π}{6}}$

Étape 3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6 x + π}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (3)}{6 x + π}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3}{6 x + π}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{6 x + π}$