Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0.00001} {(\sin (x))}^{x}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(\sin (x))}^{x}$ comme $e^{\ln ({(\sin (x))}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0.00001} e^{\ln ({(\sin (x))}^{x})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(\sin (x))}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0.00001} e^{x \ln (\sin (x))}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0.00001} x \ln (\sin (x))}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0.00001$ .

$e^{lim_{x \to 0.00001} x \cdot lim_{x \to 0.00001} \ln (\sin (x))}$

Étape 2.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{lim_{x \to 0.00001} x \cdot \ln (lim_{x \to 0.00001} \sin (x))}$

Étape 2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{lim_{x \to 0.00001} x \cdot \ln (\sin (lim_{x \to 0.00001} x))}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0.00001$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0.00001$ pour $x$ .

$e^{0.00001 \cdot \ln (\sin (lim_{x \to 0.00001} x))}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0.00001$ pour $x$ .

$e^{0.00001 \cdot \ln (\sin (0.00001))}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez $0.00001 \cdot \ln (\sin (0.00001))$ en déplaçant $0.00001$ dans le logarithme.

$e^{\ln (\sin^{0.00001} (0.00001))}$

Étape 4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\sin^{0.00001} (0.00001)$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sin^{0.00001} (0.00001)$

Forme décimale :

$0.99984440 \dots$