Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x^{2} + 3 x} - 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x^{2} + 3 x} - lim_{x \to 0} 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Étape 2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x^{2} + 3 x} - lim_{x \to 0} 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Étape 5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Étape 6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0^{2} + 3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0^{2} + 3 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{e^{0 + 3 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Étape 8.1.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{e^{0 + 0} - 1 \cdot 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Étape 8.1.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Étape 8.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Étape 8.1.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{e^{x^{2} + 4 x} - 1}$

Étape 8.2

Divisez $0$ par $e^{x^{2} + 4 x} - 1$ .

$0$