Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} {(1 - \cos (x))}^{x}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez ${(1 - \cos (x))}^{x}$ comme $e^{\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (1 - \cos (x))}$

Étape 2

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0} x \ln (1 - \cos (x))}$

Étape 3

Réécrivez $x \ln (1 - \cos (x))$ comme $\frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

Étape 4

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

Étape 5

Évaluez la limite côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{-}} \ln (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.1.2

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté gauche, $\ln (1 - \cos (x))$ diminue sans borne.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.1.3

Comme le numérateur est une constante et le dénominateur approche de $0$ lorsque $x$ approche de $0$ par la gauche, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de l’infini négatif.

$e^{\frac{- \infty}{- \infty}}$

Étape 5.1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{\frac{- \infty}{- \infty}}$

Étape 5.1.2

Comme $\frac{- \infty}{- \infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 5.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.1.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.1.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.1.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.1.3.7

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.1.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.1.3.9

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.1.3.10

Associez $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.1.3.11

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Étape 5.1.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- x^{- 2}}}$

Étape 5.1.3.13

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 x^{2}}$

Étape 5.1.5

Associez $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ et $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} - \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}}$

Étape 5.1.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} - \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Étape 5.2

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Étape 5.3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Étape 5.3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2} \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Étape 5.3.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Étape 5.3.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Étape 5.3.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Étape 5.3.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Étape 5.3.1.2.5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.5.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Étape 5.3.1.2.5.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Étape 5.3.1.2.5.3

Multipliez $0$ par $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Étape 5.3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.3.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - lim_{x \to 0^{-}} \cos (x)}}$

Étape 5.3.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- \frac{0}{1 - lim_{x \to 0^{-}} \cos (x)}}$

Étape 5.3.1.3.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0^{-}} x)}}$

Étape 5.3.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (0)}}$

Étape 5.3.1.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.3.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}}$

Étape 5.3.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1}}$

Étape 5.3.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$e^{- \frac{0}{0}}$

Étape 5.3.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{- \frac{0}{0}}$

Étape 5.3.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{- \frac{0}{0}}$

Étape 5.3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{- \frac{0}{0}}$

Étape 5.3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 5.3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Étape 5.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Étape 5.3.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Étape 5.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Étape 5.3.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Étape 5.3.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Étape 5.3.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Étape 5.3.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Étape 5.3.3.8.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - - 1 \sin (x)}}$

Étape 5.3.3.8.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + 1 \sin (x)}}$

Étape 5.3.3.8.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \sin (x)}}$

Étape 5.3.3.9

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}}$

Étape 5.4

Comme $\frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}$ et $lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = 0$ , appliquez le théorème des gendarmes.

$e^{- 0}$

Étape 5.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{0}$

Étape 6

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

Étape 7

Évaluez la limite côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Étape 7.1.1.2

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (1 - \cos (x))$ diminue sans borne.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Étape 7.1.1.3

Comme le numérateur est une constante et le dénominateur approche de $0$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de l’infini.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Étape 7.1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Étape 7.1.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 7.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 7.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 7.1.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 7.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 7.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 7.1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 7.1.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 7.1.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 7.1.3.7

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 7.1.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 7.1.3.9

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 7.1.3.10

Associez $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 7.1.3.11

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Étape 7.1.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- x^{- 2}}}$

Étape 7.1.3.13

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 7.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 x^{2}}$

Étape 7.1.5

Associez $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ et $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}}$

Étape 7.1.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Étape 7.2

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Étape 7.3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Étape 7.3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Étape 7.3.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Étape 7.3.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Étape 7.3.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Étape 7.3.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Étape 7.3.1.2.5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.2.5.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Étape 7.3.1.2.5.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Étape 7.3.1.2.5.3

Multipliez $0$ par $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Étape 7.3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.3.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Étape 7.3.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- \frac{0}{1 - lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Étape 7.3.1.3.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Étape 7.3.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (0)}}$

Étape 7.3.1.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.3.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}}$

Étape 7.3.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1}}$

Étape 7.3.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$e^{- \frac{0}{0}}$

Étape 7.3.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{- \frac{0}{0}}$

Étape 7.3.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{- \frac{0}{0}}$

Étape 7.3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{- \frac{0}{0}}$

Étape 7.3.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 7.3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Étape 7.3.3.2

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Étape 7.3.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Étape 7.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Étape 7.3.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Étape 7.3.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Étape 7.3.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Étape 7.3.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Étape 7.3.3.8.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - - 1 \sin (x)}}$

Étape 7.3.3.8.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + 1 \sin (x)}}$

Étape 7.3.3.8.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \sin (x)}}$

Étape 7.3.3.9

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}}$

Étape 7.4

Comme $\frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}$ et $lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = 0$ , appliquez le théorème des gendarmes.

$e^{- 0}$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{0}$

Étape 8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$