Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + 1}{x \csc (x)}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + lim_{x \to 0} 1}{x \csc (x)}$

Étape 2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + 1}{x \csc (x)}$

Étape 3

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (x)$

Étape 4

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $x \csc (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ - 0.1 & 1.00166861 \\ - 0.01 & 1.00001666 \\ - 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

Étape 5

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $1$ . Ainsi, la limite de $x \csc (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté gauche est $1$ .

$1$

Étape 6

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (x)$

Étape 7

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $x \csc (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ 0.1 & 1.00166861 \\ 0.01 & 1.00001666 \\ 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

Étape 8

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $1$ . Ainsi, la limite de $x \csc (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit est $1$ .

$\frac{1 + 1}{x \csc (x)}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{x \csc (x)}$

Étape 9.2

Séparez les fractions.

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\csc (x)}$

Étape 9.3

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 9.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{x} (1 \sin (x))$

Étape 9.5

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{2}{x} \sin (x)$

Étape 9.6

Associez $\frac{2}{x}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{x}$