Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + \sin (x)} - \sqrt{1 - \sin (x)}}{x}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + \sin (x)} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - \sin (x)}}{x}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + \sin (x)} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - \sin (x)}}{x}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sin (x)} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - \sin (x)}}{x}$

Étape 4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} \sin (x)} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - \sin (x)}}{x}$

Étape 5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sqrt{1 + \sin (lim_{x \to 0} x)} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - \sin (x)}}{x}$

Étape 6

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{1 + \sin (lim_{x \to 0} x)} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - \sin (x)}}{x}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + \sin (lim_{x \to 0} x)} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin (x)}}{x}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + \sin (lim_{x \to 0} x)} - \sqrt{1 - lim_{x \to 0} \sin (x)}}{x}$

Étape 9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sqrt{1 + \sin (lim_{x \to 0} x)} - \sqrt{1 - \sin (lim_{x \to 0} x)}}{x}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + \sin (0)} - \sqrt{1 - \sin (lim_{x \to 0} x)}}{x}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + \sin (0)} - \sqrt{1 - \sin (0)}}{x}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 - \sin (0)}}{x}$

Étape 11.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{1 - \sin (0)}}{x}$

Étape 11.1.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 - \sin (0)}}{x}$

Étape 11.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 - 0}}{x}$

Étape 11.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 + 0}}{x}$

Étape 11.1.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{x}$

Étape 11.1.7

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x}$

Étape 11.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{x}$

Étape 11.1.9

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{x}$

Étape 11.2

Divisez $0$ par $x$ .

$0$