Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 0} 1 + x \sin (x) - \cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1 + lim_{x \to 0} x \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1 + lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1 + lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1 + lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 + lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 + 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 + 0 \cdot \sin (0) - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 + 0 \cdot \sin (0) - \cos (2 \cdot 0)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1 + 0 \cdot 0 - \cos (2 \cdot 0)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 8.1.2

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{1 + 0 - \cos (2 \cdot 0)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 8.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1 + 0 - \cos (0)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 8.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 8.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 8.1.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1 - 1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 8.1.7

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (x)}$

Étape 8.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (x) \cdot 1}$

Étape 8.3

Séparez les fractions.

$\frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 8.4

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ à $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{0}{1} \csc^{2} (x)$

Étape 8.5

Divisez $0$ par $1$ .

$0 \csc^{2} (x)$

Étape 8.6

Multipliez $0$ par $\csc^{2} (x)$ .

$0$