Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{1}{6}} {(6 \sin (π x) - 1)}^{3}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Déplacez l’exposant $3$ de ${(6 \sin (π x) - 1)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to \frac{1}{6}} 6 \sin (π x) - 1)}^{3}$

Étape 1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{6}$ .

${(lim_{x \to \frac{1}{6}} 6 \sin (π x) - lim_{x \to \frac{1}{6}} 1)}^{3}$

Étape 1.3

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

${(6 lim_{x \to \frac{1}{6}} \sin (π x) - lim_{x \to \frac{1}{6}} 1)}^{3}$

Étape 1.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

${(6 \sin (lim_{x \to \frac{1}{6}} π x) - lim_{x \to \frac{1}{6}} 1)}^{3}$

Étape 1.5

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

${(6 \sin (π lim_{x \to \frac{1}{6}} x) - lim_{x \to \frac{1}{6}} 1)}^{3}$

Étape 1.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{6}$ .

${(6 \sin (π lim_{x \to \frac{1}{6}} x) - 1 \cdot 1)}^{3}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{6}$ pour $x$ .

${(6 \sin (π \frac{1}{6}) - 1 \cdot 1)}^{3}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Associez $π$ et $\frac{1}{6}$ .

${(6 \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1)}^{3}$

Étape 3.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

${(6 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}^{3}$

Étape 3.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

${(2 (3) \frac{1}{2} - 1 \cdot 1)}^{3}$

Étape 3.1.3.2

Annulez le facteur commun.

${(2 \cdot 3 \frac{1}{2} - 1 \cdot 1)}^{3}$

Étape 3.1.3.3

Réécrivez l’expression.

${(3 - 1 \cdot 1)}^{3}$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(3 - 1)}^{3}$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$2^{3}$

Étape 3.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8$