Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + 2 x - 1}{9 x^{2} - 1}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Étape 2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $\frac{1}{3}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{3}$ pour $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{3}$ pour $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3^{2}$ .

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Étape 7.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Étape 7.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Étape 7.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Étape 7.1.4

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Étape 7.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Étape 7.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1 + 2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Étape 7.1.7

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{3}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Étape 7.1.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Étape 7.1.9

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Étape 7.1.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Étape 7.1.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.11.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{\frac{3 - 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Étape 7.1.11.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{\frac{0}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Étape 7.1.12

Divisez $0$ par $3$ .

$\frac{0}{9 x^{2} - 1}$

Étape 7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1}$

Étape 7.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1^{2}}$

Étape 7.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x$ et $b = 1$ .

$\frac{0}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Étape 7.3

Divisez $0$ par $(3 x + 1) (3 x - 1)$ .

$0$