Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt[4]{x^{4} + 1} - \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt[4]{x^{4} + 1} - lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 0} x^{4} + 1} - lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 1} - lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 1} - lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 1} - lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Étape 6

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 1} - \sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 1} - \sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}}{x^{2}}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 1} - \sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}}{x^{2}}$

Étape 9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 1} - \sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}}{x^{2}}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[4]{0^{4} + 1} - \sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}}{x^{2}}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[4]{0^{4} + 1} - \sqrt{0^{2} + 1}}{x^{2}}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{\sqrt[4]{0 + 1} - \sqrt{0^{2} + 1}}{x^{2}}$

Étape 11.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{\sqrt[4]{1} - \sqrt{0^{2} + 1}}{x^{2}}$

Étape 11.1.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{0^{2} + 1}}{x^{2}}$

Étape 11.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{0 + 1}}{x^{2}}$

Étape 11.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{x^{2}}$

Étape 11.1.6

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 11.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{x^{2}}$

Étape 11.1.8

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{x^{2}}$

Étape 11.2

Divisez $0$ par $x^{2}$ .

$0$