Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 0} 3 {(x + h)}^{2} - 3 x^{2}}{h}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 {(x + h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Étape 2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} {(x + h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x + h)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Étape 5

Évaluez la limite de $h$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Étape 6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{2} - 3 lim_{x \to 0} x^{2}}{h}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{2} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{h}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3 {(0 + h)}^{2} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{h}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3 {(0 + h)}^{2} - 3 \cdot 0^{2}}{h}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(0 + h)}^{2} - 3 \cdot 0^{2}$ .

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Étape 9.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(0 + h)}^{2}$ .

$\frac{3 ({(0 + h)}^{2}) - 3 \cdot 0^{2}}{h}$

Étape 9.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \cdot 0^{2}$ .

$\frac{3 ({(0 + h)}^{2}) + 3 (- 0^{2})}{h}$

Étape 9.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 ({(0 + h)}^{2}) + 3 (- 0^{2})$ .

$\frac{3 ({(0 + h)}^{2} - 0^{2})}{h}$

Étape 9.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 0 + h$ et $b = 0$ .

$\frac{3 ((0 + h + 0) (0 + h + 0))}{h}$

Étape 9.1.3

Simplifiez

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Étape 9.1.3.1

Additionnez $0 + h$ et $0$ .

$\frac{3 ((0 + h) (0 + h + 0))}{h}$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $0$ et $h$ .

$\frac{3 (h (0 + h + 0))}{h}$

Étape 9.1.3.3

Additionnez $0 + h$ et $0$ .

$\frac{3 (h (0 + h))}{h}$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $0$ et $h$ .

$\frac{3 (h \cdot h)}{h}$

$\frac{3 h \cdot h}{h}$

Étape 9.1.4

Associez les exposants.

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Étape 9.1.4.1

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (h^{1} h)}{h}$

Étape 9.1.4.2

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (h^{1} h^{1})}{h}$

Étape 9.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 h^{1 + 1}}{h}$

Étape 9.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 h^{2}}{h}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $h^{2}$ et $h$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $h$ à partir de $3 h^{2}$ .

$\frac{h (3 h)}{h}$

Étape 9.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.1

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$\frac{h (3 h)}{h^{1}}$

Étape 9.2.2.2

Factorisez $h$ à partir de $h^{1}$ .

$\frac{h (3 h)}{h \cdot 1}$

Étape 9.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (3 h)}{h \cdot 1}$

Étape 9.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 h}{1}$

Étape 9.2.2.5

Divisez $3 h$ par $1$ .

$3 h$