Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{h \to o} {(7 + h)}^{3} - 343}{h}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $o$ .

$\frac{lim_{h \to o} {(7 + h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

Étape 1.2

Déplacez l’exposant $3$ de ${(7 + h)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{h \to o} 7 + h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

Étape 1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $o$ .

$\frac{{(lim_{h \to o} 7 + lim_{h \to o} h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

Étape 1.4

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $h$ approche de $o$ .

$\frac{{(7 + lim_{h \to o} h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

Étape 1.5

Évaluez la limite de $343$ qui est constante lorsque $h$ approche de $o$ .

$\frac{{(7 + lim_{h \to o} h)}^{3} - 1 \cdot 343}{h}$

Étape 2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $o$ pour $h$ .

$\frac{{(7 + o)}^{3} - 1 \cdot 343}{h}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $343$ comme $7^{3}$ .

$\frac{{(7 + o)}^{3} - 7^{3}}{h}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 7 + o$ et $b = 7$ .

$\frac{(7 + o - 7) ({(7 + o)}^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Soustrayez $7$ de $7$ .

$\frac{(o + 0) ({(7 + o)}^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Étape 3.3.2

Additionnez $o$ et $0$ .

$\frac{o ({(7 + o)}^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Étape 3.3.3

Réécrivez ${(7 + o)}^{2}$ comme $(7 + o) (7 + o)$ .

$\frac{o ((7 + o) (7 + o) + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Étape 3.3.4

Développez $(7 + o) (7 + o)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{o (7 (7 + o) + o (7 + o) + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Étape 3.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{o (7 \cdot 7 + 7 o + o (7 + o) + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Étape 3.3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{o (7 \cdot 7 + 7 o + o \cdot 7 + o \cdot o + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Étape 3.3.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.5.1.1

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{o (49 + 7 o + o \cdot 7 + o \cdot o + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Étape 3.3.5.1.2

Déplacez $7$ à gauche de $o$ .

$\frac{o (49 + 7 o + 7 \cdot o + o \cdot o + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Étape 3.3.5.1.3

Multipliez $o$ par $o$ .

$\frac{o (49 + 7 o + 7 o + o^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Étape 3.3.5.2

Additionnez $7 o$ et $7 o$ .

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Étape 3.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 7 \cdot 7 + o \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Étape 3.3.7

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 49 + o \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Étape 3.3.8

Déplacez $7$ à gauche de $o$ .

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 49 + 7 \cdot o + 7^{2})}{h}$

Étape 3.3.9

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 49 + 7 o + 49)}{h}$

Étape 3.3.10

Additionnez $49$ et $49$ .

$\frac{o (14 o + o^{2} + 98 + 7 o + 49)}{h}$

Étape 3.3.11

Additionnez $14 o$ et $7 o$ .

$\frac{o (21 o + o^{2} + 98 + 49)}{h}$

Étape 3.3.12

Additionnez $98$ et $49$ .

$\frac{o (21 o + o^{2} + 147)}{h}$

Étape 3.3.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{o (o^{2} + 21 o + 147)}{h}$