Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{h \to 8} 3 h + 2 x h^{2} + x^{2} h^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{h \to 8} 3 h + lim_{h \to 8} 2 x h^{2} + lim_{h \to 8} x^{2} h^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{3 lim_{h \to 8} h + lim_{h \to 8} 2 x h^{2} + lim_{h \to 8} x^{2} h^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 3

Placez le terme $2 x$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{3 lim_{h \to 8} h + 2 x lim_{h \to 8} h^{2} + lim_{h \to 8} x^{2} h^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $h^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 lim_{h \to 8} h + 2 x {(lim_{h \to 8} h)}^{2} + lim_{h \to 8} x^{2} h^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 5

Placez le terme $x^{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{3 lim_{h \to 8} h + 2 x {(lim_{h \to 8} h)}^{2} + x^{2} lim_{h \to 8} h^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 6

Déplacez l’exposant $3$ de $h^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 lim_{h \to 8} h + 2 x {(lim_{h \to 8} h)}^{2} + x^{2} {(lim_{h \to 8} h)}^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $8$ pour $h$ .

$\frac{3 \cdot 8 + 2 x {(lim_{h \to 8} h)}^{2} + x^{2} {(lim_{h \to 8} h)}^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $8$ pour $h$ .

$\frac{3 \cdot 8 + 2 x \cdot 8^{2} + x^{2} {(lim_{h \to 8} h)}^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $8$ pour $h$ .

$\frac{3 \cdot 8 + 2 x \cdot 8^{2} + x^{2} \cdot 8^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{24 + 2 x \cdot 8^{2} + x^{2} \cdot 8^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 8.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{24 + 2 x \cdot 64 + x^{2} \cdot 8^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 8.3

Multipliez $64$ par $2$ .

$\frac{24 + 128 x + x^{2} \cdot 8^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 8.4

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{24 + 128 x + x^{2} \cdot 512}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 8.5

Déplacez $512$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{24 + 128 x + 512 \cdot x^{2}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 8.6

Factorisez $8$ à partir de $24 + 128 x + 512 x^{2}$ .

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Étape 8.6.1

Factorisez $8$ à partir de $24$ .

$\frac{8 (3) + 128 x + 512 x^{2}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 8.6.2

Factorisez $8$ à partir de $128 x$ .

$\frac{8 (3) + 8 (16 x) + 512 x^{2}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 8.6.3

Factorisez $8$ à partir de $512 x^{2}$ .

$\frac{8 (3) + 8 (16 x) + 8 (64 x^{2})}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 8.6.4

Factorisez $8$ à partir de $8 (3) + 8 (16 x)$ .

$\frac{8 (3 + 16 x) + 8 (64 x^{2})}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Étape 8.6.5

Factorisez $8$ à partir de $8 (3 + 16 x) + 8 (64 x^{2})$ .

$\frac{8 (3 + 16 x + 64 x^{2})}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$