Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{n \to 8} 4^{n} - 2^{n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 4^{n} - lim_{n \to 8} 2^{n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Étape 2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{4^{lim_{n \to 8} n} - lim_{n \to 8} 2^{n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Étape 3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{4^{lim_{n \to 8} n} - 2^{lim_{n \to 8} n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{4^{8} - 2^{lim_{n \to 8} n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{4^{8} - 2^{8}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $8$ .

$\frac{65536 - 2^{8}}{2 \cdot 4^{n} - 2^{n}}$

Étape 5.1.2

Élevez $2$ à la puissance $8$ .

$\frac{65536 - 1 \cdot 256}{2 \cdot 4^{n} - 2^{n}}$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 1$ par $256$ .

$\frac{65536 - 256}{2 \cdot 4^{n} - 2^{n}}$

Étape 5.1.4

Soustrayez $256$ de $65536$ .

$\frac{65280}{2 \cdot 4^{n} - 2^{n}}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Réécrivez $4^{n}$ comme ${(2^{2})}^{n}$ .

$\frac{65280}{2 \cdot {(2^{2})}^{n} - 2^{n}}$

Étape 5.2.2

Réécrivez ${(2^{2})}^{n}$ comme ${(2^{n})}^{2}$ .

$\frac{65280}{2 \cdot {(2^{n})}^{2} - 2^{n}}$

Étape 5.2.3

Factorisez $u$ à partir de $2 u^{2} - u$ .

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $u$ à partir de $2 u^{2}$ .

$\frac{65280}{u (2 u) - u}$

Étape 5.2.3.2

Factorisez $u$ à partir de $- u$ .

$\frac{65280}{u (2 u) + u \cdot - 1}$

Étape 5.2.3.3

Factorisez $u$ à partir de $u (2 u) + u \cdot - 1$ .

$\frac{65280}{u (2 u - 1)}$

Étape 5.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2^{n}$ .

$\frac{65280}{2^{n} (2 \cdot 2^{n} - 1)}$

Étape 5.2.5

Multipliez $2$ par $2^{n}$ .

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Étape 5.2.5.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{65280}{2^{n} (2^{1} \cdot 2^{n} - 1)}$

Étape 5.2.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{65280}{2^{n} (2^{1 + n} - 1)}$