Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - 1}{(2 x) + 1}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{(2 x) + 1}$

Étape 1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{(2 x) + 1}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{(2 x) + 1}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}{(2 x) + 1}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}{2 x + 1}$

Étape 3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{1}{2^{2}} - 1 \cdot 1}{2 x + 1}$

Étape 3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{1}{4} - 1 \cdot 1}{2 x + 1}$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{1}{4} - 1}{2 x + 1}$

Étape 3.1.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}{2 x + 1}$

Étape 3.1.6

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}{2 x + 1}$

Étape 3.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}{2 x + 1}$

Étape 3.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{\frac{1 - 4}{4}}{2 x + 1}$

Étape 3.1.8.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{\frac{- 3}{4}}{2 x + 1}$

Étape 3.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{3}{4}}{2 x + 1}$

Étape 3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 x + 1}$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{1}{2 x + 1}$ par $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{(2 x + 1) \cdot 4}$

Étape 3.4

Déplacez $4$ à gauche de $2 x + 1$ .

$- \frac{3}{4 (2 x + 1)}$