Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}{x - \frac{π}{2}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{x - \frac{π}{2}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{x - \frac{π}{2}}$

Étape 1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{x - \frac{π}{2}}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{x - \frac{π}{2}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{x - \frac{π}{2}}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{x - \frac{π}{2}}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{2 (1 - \sin (\frac{π}{2}))}{2 (x - \frac{π}{2})}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2 x + 2 (- \frac{π}{2})}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2 x + 2 \frac{- π}{2}}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2 x + 2 \frac{- π}{2}}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2 x - π}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 + 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$ .

$\frac{2 (1 - \sin (\frac{π}{2}))}{2 x - π}$

Étape 3.4.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{2 (1 - 1 \cdot 1)}{2 x - π}$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (1 - 1)}{2 x - π}$

Étape 3.4.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2 \cdot 0}{2 x - π}$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{2 x - π}$

Étape 3.6

Divisez $0$ par $2 x - π$ .

$0$