Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{3}{8}} {(15 x)}^{- 4} - 20 x^{8}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{3}{8}$ .

$lim_{x \to \frac{3}{8}} {(15 x)}^{- 4} - lim_{x \to \frac{3}{8}} 20 x^{8}$

Étape 2

Déplacez l’exposant $- 4$ de ${(15 x)}^{- 4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to \frac{3}{8}} 15 x)}^{- 4} - lim_{x \to \frac{3}{8}} 20 x^{8}$

Étape 3

Placez le terme $15$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

${(15 lim_{x \to \frac{3}{8}} x)}^{- 4} - lim_{x \to \frac{3}{8}} 20 x^{8}$

Étape 4

Placez le terme $20$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

${(15 lim_{x \to \frac{3}{8}} x)}^{- 4} - 20 lim_{x \to \frac{3}{8}} x^{8}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $8$ de $x^{8}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(15 lim_{x \to \frac{3}{8}} x)}^{- 4} - 20 {(lim_{x \to \frac{3}{8}} x)}^{8}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $\frac{3}{8}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{3}{8}$ pour $x$ .

${(15 (\frac{3}{8}))}^{- 4} - 20 {(lim_{x \to \frac{3}{8}} x)}^{8}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{3}{8}$ pour $x$ .

${(15 (\frac{3}{8}))}^{- 4} - 20 {(\frac{3}{8})}^{8}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $15 (\frac{3}{8})$ .

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Étape 7.1.1.1

Associez $15$ et $\frac{3}{8}$ .

${(\frac{15 \cdot 3}{8})}^{- 4} - 20 {(\frac{3}{8})}^{8}$

Étape 7.1.1.2

Multipliez $15$ par $3$ .

${(\frac{45}{8})}^{- 4} - 20 {(\frac{3}{8})}^{8}$

Étape 7.1.2

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

${(\frac{8}{45})}^{4} - 20 {(\frac{3}{8})}^{8}$

Étape 7.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{45}$ .

$\frac{8^{4}}{45^{4}} - 20 {(\frac{3}{8})}^{8}$

Étape 7.1.4

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{4096}{45^{4}} - 20 {(\frac{3}{8})}^{8}$

Étape 7.1.5

Élevez $45$ à la puissance $4$ .

$\frac{4096}{4100625} - 20 {(\frac{3}{8})}^{8}$

Étape 7.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{8}$ .

$\frac{4096}{4100625} - 20 \frac{3^{8}}{8^{8}}$

Étape 7.1.7

Élevez $3$ à la puissance $8$ .

$\frac{4096}{4100625} - 20 \frac{6561}{8^{8}}$

Étape 7.1.8

Élevez $8$ à la puissance $8$ .

$\frac{4096}{4100625} - 20 (\frac{6561}{16777216})$

Étape 7.1.9

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.1.9.1

Factorisez $4$ à partir de $- 20$ .

$\frac{4096}{4100625} + 4 (- 5) \frac{6561}{16777216}$

Étape 7.1.9.2

Factorisez $4$ à partir de $16777216$ .

$\frac{4096}{4100625} + 4 \cdot - 5 \frac{6561}{4 \cdot 4194304}$

Étape 7.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4096}{4100625} + 4 \cdot - 5 \frac{6561}{4 \cdot 4194304}$

Étape 7.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4096}{4100625} - 5 (\frac{6561}{4194304})$

Étape 7.1.10

Associez $- 5$ et $\frac{6561}{4194304}$ .

$\frac{4096}{4100625} + \frac{- 5 \cdot 6561}{4194304}$

Étape 7.1.11

Multipliez $- 5$ par $6561$ .

$\frac{4096}{4100625} + \frac{- 32805}{4194304}$

Étape 7.1.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4096}{4100625} - \frac{32805}{4194304}$

Étape 7.2

Pour écrire $\frac{4096}{4100625}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4194304}{4194304}$ .

$\frac{4096}{4100625} \cdot \frac{4194304}{4194304} - \frac{32805}{4194304}$

Étape 7.3

Pour écrire $- \frac{32805}{4194304}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4100625}{4100625}$ .

$\frac{4096}{4100625} \cdot \frac{4194304}{4194304} - \frac{32805}{4194304} \cdot \frac{4100625}{4100625}$

Étape 7.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $17199267840000$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.4.1

Multipliez $\frac{4096}{4100625}$ par $\frac{4194304}{4194304}$ .

$\frac{4096 \cdot 4194304}{4100625 \cdot 4194304} - \frac{32805}{4194304} \cdot \frac{4100625}{4100625}$

Étape 7.4.2

Multipliez $4100625$ par $4194304$ .

$\frac{4096 \cdot 4194304}{17199267840000} - \frac{32805}{4194304} \cdot \frac{4100625}{4100625}$

Étape 7.4.3

Multipliez $\frac{32805}{4194304}$ par $\frac{4100625}{4100625}$ .

$\frac{4096 \cdot 4194304}{17199267840000} - \frac{32805 \cdot 4100625}{4194304 \cdot 4100625}$

Étape 7.4.4

Multipliez $4194304$ par $4100625$ .

$\frac{4096 \cdot 4194304}{17199267840000} - \frac{32805 \cdot 4100625}{17199267840000}$

Étape 7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4096 \cdot 4194304 - 32805 \cdot 4100625}{17199267840000}$

Étape 7.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.6.1

Multipliez $4096$ par $4194304$ .

$\frac{17179869184 - 32805 \cdot 4100625}{17199267840000}$

Étape 7.6.2

Multipliez $- 32805$ par $4100625$ .

$\frac{17179869184 - 134521003125}{17199267840000}$

Étape 7.6.3

Soustrayez $134521003125$ de $17179869184$ .

$\frac{- 117341133941}{17199267840000}$

Étape 7.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{117341133941}{17199267840000}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{117341133941}{17199267840000}$

Forme décimale :

$- 0.00682244 \dots$