Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (x) - 1}{x - \frac{π}{4}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{x - \frac{π}{4}}$

Étape 1.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{\cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{x - \frac{π}{4}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - 1 \cdot 1}{x - \frac{π}{4}}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{\cot (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{x - \frac{π}{4}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\cot (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{x - \frac{π}{4}}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{x - \frac{π}{4}}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{4 (\cot (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1)}{4 (x - \frac{π}{4})}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cot (\frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{4 x + 4 (- \frac{π}{4})}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{4 \cot (\frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{4 x + 4 \frac{- π}{4}}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cot (\frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{4 x + 4 \frac{- π}{4}}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cot (\frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{4 x - π}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cot (\frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)$ .

$\frac{4 (\cot (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1)}{4 x - π}$

Étape 3.4.2

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{4 (1 - 1 \cdot 1)}{4 x - π}$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 (1 - 1)}{4 x - π}$

Étape 3.4.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{4 \cdot 0}{4 x - π}$

Étape 3.5

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{4 x - π}$

Étape 3.6

Divisez $0$ par $4 x - π$ .

$0$