Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{\tan (x - 1)}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{\tan (x - 1)}$

Étape 2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{\tan (x - 1)}$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\tan (x - 1)}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{4}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\tan (x - 1)}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{\tan (x - 1)}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{\tan (x - 1)}$

Étape 5.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\tan (x - 1)}$

Étape 5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{\tan (x - 1)}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{\tan (x - 1)}$

Étape 5.1.4.2

Divisez $0$ par $2$ .

$\frac{0}{\tan (x - 1)}$

Étape 5.2

Réécrivez $\tan (x - 1)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{0}{\frac{\sin (x - 1)}{\cos (x - 1)}}$

Étape 5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$0 \frac{\cos (x - 1)}{\sin (x - 1)}$

Étape 5.4

Multipliez $0$ par $\frac{\cos (x - 1)}{\sin (x - 1)}$ .

$0$