Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{h \to 0} ({(x + h)}^{3}) - x^{3}}{h}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{h}$

Étape 1.2

Déplacez l’exposant $3$ de ${(x + h)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{h}$

Étape 1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{h}$

Étape 1.4

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{h}$

Étape 1.5

Évaluez la limite de $x^{3}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - x^{3}}{h}$

Étape 2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{{(x + 0)}^{3} - x^{3}}{h}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x + 0$ et $b = x$ .

$\frac{(x + 0 - x) ({(x + 0)}^{2} + (x + 0) x + x^{2})}{h}$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{(x - x) ({(x + 0)}^{2} + (x + 0) x + x^{2})}{h}$

Étape 3.1.2.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 ({(x + 0)}^{2} + (x + 0) x + x^{2})}{h}$

Étape 3.1.2.3

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{0 (x^{2} + (x + 0) x + x^{2})}{h}$

Étape 3.1.2.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{0 (x^{2} + x \cdot x + x^{2})}{h}$

Étape 3.1.2.5

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{0 (x^{2} + x^{2} + x^{2})}{h}$

Étape 3.1.2.6

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{0 (2 x^{2} + x^{2})}{h}$

Étape 3.1.2.7

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{0 \cdot 3 x^{2}}{h}$

Étape 3.1.2.8

Associez les exposants.

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Étape 3.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $3$ .

$\frac{0 x^{2}}{h}$

Étape 3.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$\frac{0}{h}$

Étape 3.2

Divisez $0$ par $h$ .

$0$