Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Étape 1.2

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{8 lim_{h \to 0} {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Étape 1.3

Déplacez l’exposant $8$ de ${(\frac{1}{2} + h)}^{8}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{8 {(lim_{h \to 0} \frac{1}{2} + h)}^{8} - lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Étape 1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{8 {(lim_{h \to 0} \frac{1}{2} + lim_{h \to 0} h)}^{8} - lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Étape 1.5

Évaluez la limite de $\frac{1}{2}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{8 {(\frac{1}{2} + lim_{h \to 0} h)}^{8} - lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Étape 1.6

Évaluez la limite de $8 {(\frac{1}{2})}^{8}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{8 {(\frac{1}{2} + lim_{h \to 0} h)}^{8} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Étape 2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{8 {(\frac{1}{2} + 0)}^{8} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{8 {(\frac{1}{2})}^{8} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Étape 3.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8 \frac{1^{8}}{2^{8}} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Étape 3.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{8 \frac{1}{2^{8}} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Étape 3.1.4

Élevez $2$ à la puissance $8$ .

$\frac{8 (\frac{1}{256}) - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Étape 3.1.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.1.5.1

Factorisez $8$ à partir de $256$ .

$\frac{8 \frac{1}{8 (32)} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Étape 3.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \frac{1}{8 \cdot 32} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Étape 3.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{32} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Étape 3.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{32} - 8 \frac{1^{8}}{2^{8}}}{h}$

Étape 3.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{1}{32} - 8 \frac{1}{2^{8}}}{h}$

Étape 3.1.8

Élevez $2$ à la puissance $8$ .

$\frac{\frac{1}{32} - 8 (\frac{1}{256})}{h}$

Étape 3.1.9

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.1.9.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$\frac{\frac{1}{32} + 8 (- 1) \frac{1}{256}}{h}$

Étape 3.1.9.2

Factorisez $8$ à partir de $256$ .

$\frac{\frac{1}{32} + 8 \cdot - 1 \frac{1}{8 \cdot 32}}{h}$

Étape 3.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{1}{32} + 8 \cdot - 1 \frac{1}{8 \cdot 32}}{h}$

Étape 3.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{32} - 1 (\frac{1}{32})}{h}$

Étape 3.1.10

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{32})$ comme $- (\frac{1}{32})$ .

$\frac{\frac{1}{32} - (\frac{1}{32})}{h}$

Étape 3.1.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1 - 1}{32}}{h}$

Étape 3.1.12

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{0}{32}}{h}$

Étape 3.1.13

Divisez $0$ par $32$ .

$\frac{0}{h}$

Étape 3.2

Divisez $0$ par $h$ .

$0$