Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt[12]{{(x + h)}^{6}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt[12]{{(x + h)}^{6}} - lim_{h \to 0} \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Étape 1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt[12]{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{6}} - lim_{h \to 0} \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Étape 1.3

Déplacez l’exposant $6$ de ${(x + h)}^{6}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt[12]{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{6}} - lim_{h \to 0} \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Étape 1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt[12]{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{6}} - lim_{h \to 0} \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Étape 1.5

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt[12]{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{6}} - lim_{h \to 0} \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Étape 1.6

Évaluez la limite de $\sqrt[12]{x^{6}}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt[12]{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{6}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Étape 2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{\sqrt[12]{{(x + 0)}^{6}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{\sqrt[12]{x^{6}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{2})}^{3}$ .

$\frac{\sqrt[12]{{(x^{2})}^{3}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Étape 3.1.3

Réécrivez $\sqrt[12]{{(x^{2})}^{3}}$ comme $\sqrt[4]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Étape 3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{\sqrt[4]{x^{2}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Étape 3.1.5

Réécrivez $\sqrt[4]{x^{2}}$ comme $\sqrt{\sqrt{x^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{\sqrt{x^{2}}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Étape 3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{2})}^{3}$ .

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt[12]{{(x^{2})}^{3}}}{h}$

Étape 3.1.8

Réécrivez $\sqrt[12]{{(x^{2})}^{3}}$ comme $\sqrt[4]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}$ .

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt[4]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}}{h}$

Étape 3.1.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt[4]{x^{2}}}{h}$

Étape 3.1.10

Réécrivez $\sqrt[4]{x^{2}}$ comme $\sqrt{\sqrt{x^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{\sqrt{x^{2}}}}{h}$

Étape 3.1.11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x}}{h}$

Étape 3.1.12

Soustrayez $\sqrt{x}$ de $\sqrt{x}$ .

$\frac{0}{h}$

Étape 3.2

Divisez $0$ par $h$ .

$0$