Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to \infty} 24 - \frac{16 t^{2}}{{(t + 2)}^{2}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} 24 - lim_{t \to \infty} \frac{16 t^{2}}{{(t + 2)}^{2}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite de $24$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$24 - lim_{t \to \infty} \frac{16 t^{2}}{{(t + 2)}^{2}}$

Étape 1.3

Placez le terme $16$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$24 - 16 lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{{(t + 2)}^{2}}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $t$ dans le dénominateur.

$24 - 16 lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t^{2}}{t^{2}}}{{(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $t^{2}$ .

$24 - 16 lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$24 - 16 \frac{lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} {(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$24 - 16 \frac{1}{lim_{t \to \infty} {(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

Étape 3.4

Déplacez l’exposant $2$ de ${(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$24 - 16 \frac{1}{{(lim_{t \to \infty} \frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

Étape 3.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$24 - 16 \frac{1}{{(lim_{t \to \infty} \frac{t}{t} + lim_{t \to \infty} \frac{2}{t})}^{2}}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 3.6.1

Annulez le facteur commun.

$24 - 16 \frac{1}{{(lim_{t \to \infty} \frac{t}{t} + lim_{t \to \infty} \frac{2}{t})}^{2}}$

Étape 3.6.2

Réécrivez l’expression.

$24 - 16 \frac{1}{{(lim_{t \to \infty} 1 + lim_{t \to \infty} \frac{2}{t})}^{2}}$

Étape 3.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$24 - 16 \frac{1}{{(1 + lim_{t \to \infty} \frac{2}{t})}^{2}}$

Étape 3.8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$24 - 16 \frac{1}{{(1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{t})}^{2}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{t}$ approche de $0$ .

$24 - 16 \frac{1}{{(1 + 2 \cdot 0)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$24 - 16 \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}}$

Étape 5.1.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$24 - 16 \frac{1}{1^{2}}$

Étape 5.1.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$24 - 16 (\frac{1}{1})$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$24 - 16 (\frac{1}{1})$

Étape 5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$24 - 16 \cdot 1$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$24 - 16$

Étape 5.2

Soustrayez $16$ de $24$ .

$8$