Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 3 x \cos (3 x)}{2 \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 x + 3 x \cos (3 x)}{\cos (3 x) \sin (3 x)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 x + 3 x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Étape 2.1.2.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Étape 2.1.2.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Étape 2.1.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Étape 2.1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Étape 2.1.2.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Étape 2.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 0 + 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Étape 2.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 0 + 3 \cdot 0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Étape 2.1.2.7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 0 + 3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Étape 2.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.8.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Étape 2.1.2.8.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Étape 2.1.2.8.1.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Étape 2.1.2.8.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Étape 2.1.2.8.1.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Étape 2.1.2.8.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Étape 2.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Étape 2.1.3.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Étape 2.1.3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Étape 2.1.3.5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 2.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.7.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 2.1.3.7.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 2.1.3.7.3

Multipliez $\sin (3 \cdot 0)$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (3 \cdot 0)}$

Étape 2.1.3.7.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Étape 2.1.3.7.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.7.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 3 x \cos (3 x)}{\cos (3 x) \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + 3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + 3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 3 x \cos (3 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x \cos (3 x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.4.3.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.4.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.4.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 + \cos (3 x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.4.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.4.9

Multipliez $\cos (3 x)$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 x \cdot - 3 \sin (3 x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 - 9 x \sin (3 x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (3 x)$ et $g (x) = \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos (3 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Étape 2.3.7.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos (3 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Étape 2.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Étape 2.3.8

Élevez $\cos (3 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Étape 2.3.9

Élevez $\cos (3 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Étape 2.3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{{\cos (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Étape 2.3.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Étape 2.3.12

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Étape 2.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Étape 2.3.14

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Étape 2.3.15

Déplacez $3$ à gauche de $\cos^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cdot \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Étape 2.3.16

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.3.16.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 2.3.16.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 2.3.16.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 2.3.17

Élevez $\sin (3 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - \sin^{1} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 2.3.18

Élevez $\sin (3 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - \sin^{1} (3 x) \sin^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 2.3.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - {\sin (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 2.3.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 2.3.21

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.22

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.23

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x) \cdot 1}$

Étape 2.3.24

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)$ et $3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9 x \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot - 3 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Étape 2.4.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot - 3 x \sin (3 x) + 3 (1) + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Étape 2.4.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 3 x \sin (3 x)) + 3 (1)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1) + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Étape 2.4.4

Factorisez $3$ à partir de $3 \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1) + 3 (\cos (3 x))}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Étape 2.4.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 3 x \sin (3 x) + 1) + 3 (\cos (3 x))$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Étape 2.4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cos^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 (\cos^{2} (3 x)) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Étape 2.4.6.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \sin^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 \cdot - 1 \sin^{2} (3 x)}$

Étape 2.4.6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 (- \sin^{2} (3 x))$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 (\cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x))}$

Étape 2.4.6.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 (\cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x))}$

Étape 2.4.6.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 3 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Étape 3.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Étape 3.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Étape 3.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Étape 3.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Étape 3.8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Étape 3.9

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Étape 3.10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}$

Étape 3.11

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (3 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (3 x))}^{2} - lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}$

Étape 3.12

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}$

Étape 3.13

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}$

Étape 3.14

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (3 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \sin (3 x))}^{2}}$

Étape 3.15

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Étape 3.16

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 5.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 5.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 0 + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 5.1.4

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 5.1.5

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1 + \cos (0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 5.1.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1 + 1}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 5.1.7

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 1}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 5.1.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\cos^{2} (0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 5.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1^{2} - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 5.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 5.2.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - \sin^{2} (0)}$

Étape 5.2.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - 0^{2}}$

Étape 5.2.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - 0}$

Étape 5.2.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 + 0}$

Étape 5.2.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1}$

Étape 5.3

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$1$