Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{h \to 0} \ln (\cos (x + h)) - \ln (\cos (x))}{h}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \ln (\cos (x + h)) - lim_{h \to 0} \ln (\cos (x))}{h}$

Étape 1.2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{h \to 0} \cos (x + h)) - lim_{h \to 0} \ln (\cos (x))}{h}$

Étape 1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\ln (\cos (lim_{h \to 0} x + h)) - lim_{h \to 0} \ln (\cos (x))}{h}$

Étape 1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (\cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \ln (\cos (x))}{h}$

Étape 1.5

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (\cos (x + lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \ln (\cos (x))}{h}$

Étape 1.6

Évaluez la limite de $\ln (\cos (x))$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (\cos (x + lim_{h \to 0} h)) - \ln (\cos (x))}{h}$

Étape 2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{\ln (\cos (x + 0)) - \ln (\cos (x))}{h}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{\ln (\cos (x)) - \ln (\cos (x))}{h}$

Étape 3.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{\cos (x)}{\cos (x)})}{h}$

Étape 3.1.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (\frac{\cos (x)}{\cos (x)})}{h}$

Étape 3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (1)}{h}$

Étape 3.1.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{h}$

Étape 3.2

Divisez $0$ par $h$ .

$0$