Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Déplacez l’exposant $3$ de ${(x - 1)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}^{3}}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(1 - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{{(1 - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Étape 1.1.3.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{{(x - 1)}^{3}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]}$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Étape 1.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}$

Étape 1.3.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1}$

Étape 1.3.8

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (3 {(x - 1)}^{2})}$

Étape 2

Comme le numérateur est positif et le dénominateur $x (3 {(x - 1)}^{2})$ approche de zéro et est supérieur à zéro pour $x$ près de $1$ des deux côtés, la fonction augmente sans borne.

$\infty$