Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to π} {\sin (x)}^{\csc (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${\sin (x)}^{\csc (x)}$ comme $e^{\ln ({\sin (x)}^{\csc (x)})}$ .

$lim_{x \to π} e^{\ln ({\sin (x)}^{\csc (x)})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({\sin (x)}^{\csc (x)})$ en déplaçant $\csc (x)$ hors du logarithme.

$lim_{x \to π} e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$

Étape 2

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to π^{-}} e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$

Étape 3

Comme l’exposant $\csc (x) \ln (\sin (x))$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$ approche de $0$ .

$0$

Étape 4

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to π^{+}} e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$ en insérant $π$ pour $x$ .

$e^{\csc (π) \ln (\sin (π))}$

Étape 5.2

Réécrivez $\csc (π)$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{\frac{1}{\sin (π)} \ln (\sin (π))}$

Étape 5.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$e^{\frac{1}{\sin (0)} \ln (\sin (π))}$

Étape 5.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{\frac{1}{0} \ln (\sin (π))}$

Étape 5.5

Comme $e^{\frac{1}{0} \ln (\sin (π))}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 6

Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$