Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to π} \frac{\ln (1 + \sin (x))}{x}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} \ln (1 + \sin (x))}{lim_{x \to π} x}$

Étape 2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to π} 1 + \sin (x))}{lim_{x \to π} x}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to π} 1 + lim_{x \to π} \sin (x))}{lim_{x \to π} x}$

Étape 4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to π} \sin (x))}{lim_{x \to π} x}$

Étape 5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\ln (1 + \sin (lim_{x \to π} x))}{lim_{x \to π} x}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $π$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (π))}{lim_{x \to π} x}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (π))}{π}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{\ln (1 + \sin (0))}{π}$

Étape 7.1.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{π}$

Étape 7.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\ln (1)}{π}$

Étape 7.1.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{π}$

Étape 7.2

Divisez $0$ par $π$ .

$0$