Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to π} \frac{\sin (3 x)}{π - x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to π} \sin (3 x)}{lim_{x \to π} π - x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to π} 3 x)}{lim_{x \to π} π - x}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} π - x}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{\sin (3 π)}{lim_{x \to π} π - x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{\sin (π)}{lim_{x \to π} π - x}$

Étape 1.1.2.3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to π} π - x}$

Étape 1.1.2.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} π - x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} π - lim_{x \to π} x}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{0}{π - lim_{x \to π} x}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{0}{π - π}$

Étape 1.1.3.3

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to π} \frac{\sin (3 x)}{π - x} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$lim_{x \to π} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Étape 1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{\cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Étape 1.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{\cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Étape 1.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{3 \cdot \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [π - x]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $π - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to π} \frac{3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{3 \cos (3 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.3.9.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π} \frac{3 \cos (3 x)}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{3 \cos (3 x)}{0 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.9.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{3 \cos (3 x)}{0 - 1}$

Étape 1.3.10

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{3 \cos (3 x)}{- 1}$

Étape 1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3 \cos (3 x)}{- 1}$ .

$lim_{x \to π} - 1 \cdot (3 \cos (3 x))$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $- 1 \cdot 3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 1 \cdot 3 lim_{x \to π} \cos (3 x)$

Étape 2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- 3 \cos (lim_{x \to π} 3 x)$

Étape 2.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 3 \cos (3 lim_{x \to π} x)$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$- 3 \cos (3 π)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 3 \cos (π)$

Étape 4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 3 (- \cos (0))$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 3 (- 1 \cdot 1)$

Étape 4.4

Multipliez $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 3 \cdot - 1$

Étape 4.4.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$3$