Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to π} \frac{\cos^{2} (x) + 3 \cos (x) + 2}{\cos (x) + 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to π} \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} \cos^{2} (x) + lim_{x \to π} 3 \cos (x) + lim_{x \to π} 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to π} \cos (x))}^{2} + lim_{x \to π} 3 \cos (x) + lim_{x \to π} 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos^{2} (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 3 \cos (x) + lim_{x \to π} 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.2.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 3 lim_{x \to π} \cos (x) + lim_{x \to π} 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 3 \cos (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{\cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 3 \cos (lim_{x \to π} x) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $π$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{\cos^{2} (π) + 3 \cos (lim_{x \to π} x) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{\cos^{2} (π) + 3 \cos (π) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.8.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{{(- \cos (0))}^{2} + 3 \cos (π) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.2.8.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 1)}^{2} + 3 \cos (π) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.2.8.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 3 \cos (π) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.2.8.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 + 3 \cos (π) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.2.8.1.5

$\frac{1 + 3 (- \cos (0)) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.2.8.1.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 + 3 (- 1 \cdot 1) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.2.8.1.7

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 1.1.2.8.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + 3 \cdot - 1 + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.2.8.1.7.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1 - 3 + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.2.8.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.2.8.3

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} \cos (x) + lim_{x \to π} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 1}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to π} x) + 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{0}{\cos (π) + 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

$\frac{0}{- \cos (0) + 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 + 1}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to π} \frac{\cos^{2} (x) + 3 \cos (x) + 2}{\cos (x) + 1} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) + 3 \cos (x) + 2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) + 3 \cos (x) + 2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos^{2} (x) + 3 \cos (x) + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Étape 1.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Étape 1.3.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \cos (x) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Étape 1.3.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Étape 1.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ et $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.8

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{- \sin (x) + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $- \sin (x)$ et $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{- \sin (x)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to π} - 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{- lim_{x \to π} 2 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to π} 3 \sin (x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to π} \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to π} 3 \sin (x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to π} \cos (x) \cdot lim_{x \to π} \sin (x) - lim_{x \to π} 3 \sin (x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to π} x) \cdot lim_{x \to π} \sin (x) - lim_{x \to π} 3 \sin (x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to π} x) \cdot \sin (lim_{x \to π} x) - lim_{x \to π} 3 \sin (x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to π} x) \cdot \sin (lim_{x \to π} x) - 3 lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to π} x) \cdot \sin (lim_{x \to π} x) - 3 \sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.8

Évaluez les limites en insérant $π$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{- 2 \cos (π) \cdot \sin (lim_{x \to π} x) - 3 \sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{- 2 \cos (π) \cdot \sin (π) - 3 \sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{- 2 \cos (π) \cdot \sin (π) - 3 \sin (π)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.9.1.1

$\frac{- 2 (- \cos (0)) \cdot \sin (π) - 3 \sin (π)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.9.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{- 2 (- 1 \cdot 1) \cdot \sin (π) - 3 \sin (π)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.9.1.3

Multipliez $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 2.1.2.9.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1 \cdot \sin (π) - 3 \sin (π)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.9.1.3.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 \cdot \sin (π) - 3 \sin (π)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.9.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{2 \cdot \sin (0) - 3 \sin (π)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.9.1.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 3 \sin (π)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.9.1.6

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 - 3 \sin (π)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.9.1.7

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{0 - 3 \sin (0)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.9.1.8

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.9.1.9

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.2.9.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.3.1.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{- lim_{x \to π} \sin (x)}$

Étape 2.1.3.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{- \sin (lim_{x \to π} x)}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{0}{- \sin (π)}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.3.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{0}{- \sin (0)}$

Étape 2.1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{- 0}$

Étape 2.1.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{- \sin (x)} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Étape 2.3.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to π} \frac{- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3.4.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 2.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x)}{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 2.3.7

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x)}{- \cos (x)}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{- lim_{x \to π} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to π} 2 \sin^{2} (x) - lim_{x \to π} 3 \cos (x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Étape 3.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to π} \cos^{2} (x) + lim_{x \to π} 2 \sin^{2} (x) - lim_{x \to π} 3 \cos (x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Étape 3.4

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{- 2 {(lim_{x \to π} \cos (x))}^{2} + lim_{x \to π} 2 \sin^{2} (x) - lim_{x \to π} 3 \cos (x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Étape 3.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{- 2 \cos^{2} (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 2 \sin^{2} (x) - lim_{x \to π} 3 \cos (x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Étape 3.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 2 lim_{x \to π} \sin^{2} (x) - lim_{x \to π} 3 \cos (x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Étape 3.7

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{- 2 \cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 2 {(lim_{x \to π} \sin (x))}^{2} - lim_{x \to π} 3 \cos (x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Étape 3.8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{- 2 \cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) - lim_{x \to π} 3 \cos (x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Étape 3.9

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) - 3 lim_{x \to π} \cos (x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Étape 3.10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{- 2 \cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) - 3 \cos (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Étape 3.11

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) - 3 \cos (lim_{x \to π} x)}{- lim_{x \to π} \cos (x)}$

Étape 3.12

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{- 2 \cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) - 3 \cos (lim_{x \to π} x)}{- \cos (lim_{x \to π} x)}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $π$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (π) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) - 3 \cos (lim_{x \to π} x)}{- \cos (lim_{x \to π} x)}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (π) + 2 \sin^{2} (π) - 3 \cos (lim_{x \to π} x)}{- \cos (lim_{x \to π} x)}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (π) + 2 \sin^{2} (π) - 3 \cos (π)}{- \cos (lim_{x \to π} x)}$

Étape 4.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (π) + 2 \sin^{2} (π) - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

$\frac{- 2 {(- \cos (0))}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Étape 5.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{- 2 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 2 {(- 1)}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Étape 5.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (π) - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Étape 5.1.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{- 2 + 2 \sin^{2} (π) - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Étape 5.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{- 2 + 2 \sin^{2} (0) - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Étape 5.1.7

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{- 2 + 2 \cdot 0^{2} - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Étape 5.1.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{- 2 + 2 \cdot 0 - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Étape 5.1.9

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{- 2 + 0 - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Étape 5.1.10

$\frac{- 2 + 0 - 3 (- \cos (0))}{- \cos (π)}$

Étape 5.1.11

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{- 2 + 0 - 3 (- 1 \cdot 1)}{- \cos (π)}$

Étape 5.1.12

Multipliez $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 5.1.12.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 2 + 0 - 3 \cdot - 1}{- \cos (π)}$

Étape 5.1.12.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 + 0 + 3}{- \cos (π)}$

Étape 5.1.13

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$\frac{- 2 + 3}{- \cos (π)}$

Étape 5.1.14

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$\frac{1}{- \cos (π)}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

$\frac{1}{- - \cos (0)}$

Étape 5.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{- (- 1 \cdot 1)}$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{- - 1}$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$1$