Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to π} - \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to π} \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Étape 1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$- \frac{lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$- \frac{1}{lim_{x \to π} \sec^{2} (x)}$

Étape 1.4

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- \frac{1}{{(lim_{x \to π} \sec (x))}^{2}}$

Étape 1.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$- \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to π} x)}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$- \frac{1}{\sec^{2} (π)}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{1^{2}}{\sec^{2} (π)}$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (π)}$ comme ${(\frac{1}{\sec (π)})}^{2}$ .

$- {(\frac{1}{\sec (π)})}^{2}$

Étape 3.3

Réécrivez $\sec (π)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (π)}})}^{2}$

Étape 3.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (π)}$ .

$- {(1 \cos (π))}^{2}$

Étape 3.5

Multipliez $\cos (π)$ par $1$ .

$- \cos^{2} (π)$

Étape 3.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- {(- \cos (0))}^{2}$

Étape 3.7

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Étape 3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- {(- 1)}^{2}$

Étape 3.9

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.9.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 3.9.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

${(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

Étape 3.9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(- 1)}^{1 + 2}$

Étape 3.9.2

Additionnez $1$ et $2$ .

${(- 1)}^{3}$

Étape 3.10

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1$