Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to π} \frac{\tan^{2} (x)}{1 + \sec (x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to π} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de $\tan^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to π} \tan (x))}^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{\tan^{2} (π)}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

$\frac{{(- \tan (0))}^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Étape 1.1.2.3.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{{(- 0)}^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Étape 1.1.2.3.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} 1 + lim_{x \to π} \sec (x)}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{0}{1 + lim_{x \to π} \sec (x)}$

Étape 1.1.3.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{0}{1 + \sec (lim_{x \to π} x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 + \sec (π)}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la sécante est négative dans le deuxième quadrant.

$\frac{0}{1 - \sec (0)}$

Étape 1.1.3.3.1.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to π} \frac{\tan^{2} (x)}{1 + \sec (x)} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Étape 1.3.4

Réorganisez les facteurs de $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Étape 1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sec (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Étape 1.3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Étape 1.3.7

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{0 + \sec (x) \tan (x)}$

Étape 1.3.8

Additionnez $0$ et $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec (x) \tan (x)}$

Étape 1.4

Réduisez.

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun à $\sec^{2} (x)$ et $\sec (x)$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\sec (x) (2 \sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \tan (x)}$

Étape 1.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\sec (x) (2 \sec (x) \tan (x))}{\sec (x) (\tan (x))}$

Étape 1.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to π} \frac{\sec (x) (2 \sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \tan (x)}$

Étape 1.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $\tan (x)$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.4.2.2

Divisez $2 \sec (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to π} 2 \sec (x)$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to π} \sec (x)$

Étape 2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$2 \sec (lim_{x \to π} x)$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$2 \sec (π)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

$2 (- \sec (0))$

Étape 4.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 4.3

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \cdot - 1$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2$