Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to π} \frac{{(x - π)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Étape 1

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ à $\csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \csc^{2} (x)$

Étape 2

Réécrivez ${(x - π)}^{2} \csc^{2} (x)$ comme $\frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$ .

$lim_{x \to π} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Étape 3

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Étape 4

Évaluez la limite côté gauche.

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Étape 4.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to π^{-}} {(x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 4.1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.1.2.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x - π)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 4.1.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - lim_{x \to π^{-}} π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 4.1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 4.1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{{(π - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 4.1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.1.2.3.1

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 4.1.1.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 4.1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Étape 4.1.1.3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ approche de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.1.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.2

Réécrivez ${(x - π)}^{2}$ comme $(x - π) (x - π)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.3

Développez $(x - π) (x - π)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.4.1.2

Multipliez $- π (- π)$ .

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Étape 4.1.3.4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.4.1.2.2

Multipliez $π$ par $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.4.1.2.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.4.1.2.4

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.4.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.4.1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.4.2

Soustrayez $π x$ de $x (- π)$ .

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Étape 4.1.3.4.2.1

Déplacez $x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.4.2.2

Soustrayez $π x$ de $- π x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.7

Comme $- 2 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 π x$ par rapport à $x$ est $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.9

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.10

Comme $π^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π + 0}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.11

Additionnez $2 x - 2 π$ et $0$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.1.3.12

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 4.1.3.12.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Étape 4.1.3.12.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Étape 4.1.3.12.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Étape 4.1.3.13

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Étape 4.1.3.14

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Étape 4.1.3.15

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Étape 4.1.3.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Étape 4.1.3.17

Soustrayez $3$ de $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Étape 4.1.3.18

Simplifiez

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Étape 4.1.3.18.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Étape 4.1.3.18.2

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Étape 4.1.3.18.3

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 4.1.3.18.4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 4.1.3.18.4.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 4.1.3.18.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 4.1.3.18.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Étape 4.1.3.18.5

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (2 x)}$

Étape 4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 2 π$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x) - 2 π}{\sin (2 x)}$

Étape 4.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 π$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x) + 2 (- π)}{\sin (2 x)}$

Étape 4.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- π)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x - π)}{\sin (2 x)}$

Étape 4.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{x - π}{\sin (2 x)}$

Étape 4.3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Étape 4.3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.3.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.3.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - lim_{x \to π^{-}} π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Étape 4.3.1.2.1.2

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Étape 4.3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$2 \frac{π - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Étape 4.3.1.2.3

Soustrayez $π$ de $π$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Étape 4.3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.3.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.3.1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to π^{-}} 2 x)}$

Étape 4.3.1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to π^{-}} x)}$

Étape 4.3.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (2 π)}$

Étape 4.3.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.3.1.3.3.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Étape 4.3.1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 4.3.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 4.3.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 4.3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 4.3.2

$lim_{x \to π^{-}} \frac{x - π}{\sin (2 x)} = lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 4.3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 4.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 4.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 4.3.3.4

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 4.3.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 4.3.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.3.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 4.3.3.6.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 4.3.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 4.3.3.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 4.3.3.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Étape 4.3.3.10

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Étape 4.4

Évaluez la limite.

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Étape 4.4.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Étape 4.4.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to π^{-}} 1}{lim_{x \to π^{-}} \cos (2 x)}$

Étape 4.4.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to π^{-}} \cos (2 x)}$

Étape 4.4.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (lim_{x \to π^{-}} 2 x)}$

Étape 4.4.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to π^{-}} x)}$

Étape 4.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Étape 4.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.6.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Étape 4.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 \frac{1}{\cos (2 π)}$

Étape 4.6.2

Multipliez $\frac{1}{\cos (2 π)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\cos (2 π)}$

Étape 4.6.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (2 π)}$ à $\sec (2 π)$ .

$\sec (2 π)$

Étape 4.6.4

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\sec (0)$

Étape 4.6.5

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$1$

Étape 5

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Étape 6

Évaluez la limite côté droit.

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Étape 6.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to π^{+}} {(x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 6.1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x - π)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 6.1.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - lim_{x \to π^{+}} π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 6.1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 6.1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{{(π - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 6.1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1.1.2.3.1

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 6.1.1.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 6.1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Étape 6.1.1.3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ approche de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 6.1.1.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 6.1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 6.1.2

$lim_{x \to π^{+}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 6.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez ${(x - π)}^{2}$ comme $(x - π) (x - π)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.3

Développez $(x - π) (x - π)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.4.1.2

Multipliez $- π (- π)$ .

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Étape 6.1.3.4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.4.1.2.2

Multipliez $π$ par $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.4.1.2.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.4.1.2.4

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.4.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.4.1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.4.2

Soustrayez $π x$ de $x (- π)$ .

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Étape 6.1.3.4.2.1

Déplacez $x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.4.2.2

Soustrayez $π x$ de $- π x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.7

Comme $- 2 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 π x$ par rapport à $x$ est $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.9

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.10

Comme $π^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π + 0}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.11

Additionnez $2 x - 2 π$ et $0$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 6.1.3.12

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 6.1.3.12.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Étape 6.1.3.12.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Étape 6.1.3.12.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Étape 6.1.3.13

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Étape 6.1.3.14

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Étape 6.1.3.15

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Étape 6.1.3.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Étape 6.1.3.17

Soustrayez $3$ de $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Étape 6.1.3.18

Simplifiez

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Étape 6.1.3.18.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Étape 6.1.3.18.2

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Étape 6.1.3.18.3

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 6.1.3.18.4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 6.1.3.18.4.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 6.1.3.18.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 6.1.3.18.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Étape 6.1.3.18.5

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (2 x)}$

Étape 6.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 2 π$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x) - 2 π}{\sin (2 x)}$

Étape 6.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 π$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x) + 2 (- π)}{\sin (2 x)}$

Étape 6.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- π)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x - π)}{\sin (2 x)}$

Étape 6.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{x - π}{\sin (2 x)}$

Étape 6.3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 6.3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 6.3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Étape 6.3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 6.3.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 6.3.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - lim_{x \to π^{+}} π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Étape 6.3.1.2.1.2

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Étape 6.3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$2 \frac{π - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Étape 6.3.1.2.3

Soustrayez $π$ de $π$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Étape 6.3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 6.3.1.3.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to π^{+}} 2 x)}$

Étape 6.3.1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to π^{+}} x)}$

Étape 6.3.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (2 π)}$

Étape 6.3.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.3.1.3.3.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Étape 6.3.1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 6.3.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 6.3.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 6.3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 6.3.2

$lim_{x \to π^{+}} \frac{x - π}{\sin (2 x)} = lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 6.3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 6.3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 6.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 6.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 6.3.3.4

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 6.3.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 6.3.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 6.3.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 6.3.3.6.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 6.3.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 6.3.3.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 6.3.3.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Étape 6.3.3.10

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Étape 6.4

Évaluez la limite.

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Étape 6.4.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Étape 6.4.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to π^{+}} 1}{lim_{x \to π^{+}} \cos (2 x)}$

Étape 6.4.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to π^{+}} \cos (2 x)}$

Étape 6.4.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (lim_{x \to π^{+}} 2 x)}$

Étape 6.4.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to π^{+}} x)}$

Étape 6.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Étape 6.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.6.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Étape 6.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 \frac{1}{\cos (2 π)}$

Étape 6.6.2

Multipliez $\frac{1}{\cos (2 π)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\cos (2 π)}$

Étape 6.6.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (2 π)}$ à $\sec (2 π)$ .

$\sec (2 π)$

Étape 6.6.4

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\sec (0)$

Étape 6.6.5

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$1$

Étape 7

Comme la limite côté gauche est égale à la limite côté droit, la limite est égale à $1$ .

$1$