Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to π} \frac{5 \cos (x) + 5}{{(x - π)}^{2}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to π} 5 \cos (x) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 5 \cos (x) + lim_{x \to π} 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to π} \cos (x) + lim_{x \to π} 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{5 \cos (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{5 \cos (lim_{x \to π} x) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{5 \cos (π) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{5 (- \cos (0)) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{5 (- 1 \cdot 1) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $5 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 1.1.2.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5 \cdot - 1 + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.3.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3.2

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x - π)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - π)}^{2}}$

Étape 1.1.3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} π)}^{2}}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - π)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(π - π)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Étape 1.1.3.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to π} \frac{5 \cos (x) + 5}{{(x - π)}^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (x) + 5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (x) + 5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 \cos (x) + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{5 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Étape 1.3.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{5 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x) + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Étape 1.3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $- 5 \sin (x)$ et $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Étape 1.3.6

Réécrivez ${(x - π)}^{2}$ comme $(x - π) (x - π)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}$

Étape 1.3.7

Développez $(x - π) (x - π)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}$

Étape 1.3.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}$

Étape 1.3.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}$

Étape 1.3.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}$

Étape 1.3.8.1.2

Multipliez $- π (- π)$ .

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Étape 1.3.8.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}$

Étape 1.3.8.1.2.2

Multipliez $π$ par $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}$

Étape 1.3.8.1.2.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}$

Étape 1.3.8.1.2.4

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}$

Étape 1.3.8.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}$

Étape 1.3.8.1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}$

Étape 1.3.8.2

Soustrayez $π x$ de $x (- π)$ .

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Étape 1.3.8.2.1

Déplacez $x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}$

Étape 1.3.8.2.2

Soustrayez $π x$ de $- π x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}$

Étape 1.3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Étape 1.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Étape 1.3.11

Comme $- 2 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 π x$ par rapport à $x$ est $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Étape 1.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Étape 1.3.13

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Étape 1.3.14

Comme $π^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π + 0}$

Étape 1.3.15

Additionnez $2 x - 2 π$ et $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π}$

Étape 2

Placez le terme $- 5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{2 x - 2 π}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$- 5 \frac{lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- 5 \frac{\sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$- 5 \frac{\sin (π)}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.3.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 5 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

Étape 3.1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 5 \frac{0}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$- 5 \frac{0}{lim_{x \to π} 2 x - lim_{x \to π} 2 π}$

Étape 3.1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 5 \frac{0}{2 lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} 2 π}$

Étape 3.1.3.1.3

Évaluez la limite de $2 π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$- 5 \frac{0}{2 lim_{x \to π} x - 2 π}$

Étape 3.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$- 5 \frac{0}{2 π - 2 π}$

Étape 3.1.3.3

Soustrayez $2 π$ de $2 π$ .

$- 5 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- 5 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- 5 (\frac{0}{0})$

Étape 3.2

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{2 x - 2 π} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 2 π]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 2 π]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 x - 2 π]}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 2 π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

Étape 3.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.3.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

Étape 3.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

Étape 3.3.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

Étape 3.3.5

Comme $- 2 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2 + 0}$

Étape 3.3.6

Additionnez $2$ et $0$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to π} \cos (x)$

Étape 4.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- 5 (\frac{1}{2}) \cos (lim_{x \to π} x)$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$- 5 (\frac{1}{2}) \cos (π)$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2} \cos (π)$

Étape 6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{2} \cos (π)$

Étape 6.3

$- \frac{5}{2} (- \cos (0))$

Étape 6.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{5}{2} (- 1 \cdot 1)$

Étape 6.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{5}{2} \cdot - 1$

Étape 6.6

Multipliez $- \frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 6.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{5}{2})$

Étape 6.6.2

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $1$ .

$\frac{5}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{2}$

Forme décimale :

$2.5$