Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to π} \frac{1 + \cos (2 x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 1 + \cos (2 x)}{lim_{x \to π} 1 - \sin (x)}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 1 + lim_{x \to π} \cos (2 x)}{lim_{x \to π} 1 - \sin (x)}$

Étape 3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{1 + lim_{x \to π} \cos (2 x)}{lim_{x \to π} 1 - \sin (x)}$

Étape 4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1 + \cos (lim_{x \to π} 2 x)}{lim_{x \to π} 1 - \sin (x)}$

Étape 5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 + \cos (2 lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 1 - \sin (x)}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{1 + \cos (2 lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 1 - lim_{x \to π} \sin (x)}$

Étape 7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{1 + \cos (2 lim_{x \to π} x)}{1 - lim_{x \to π} \sin (x)}$

Étape 8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1 + \cos (2 lim_{x \to π} x)}{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $π$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{1 + \cos (2 π)}{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{1 + \cos (2 π)}{1 - \sin (π)}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{1 + \cos (0)}{1 - \sin (π)}$

Étape 10.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 + 1}{1 - \sin (π)}$

Étape 10.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{1 - \sin (π)}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{2}{1 - \sin (0)}$

Étape 10.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{2}{1 - 0}$

Étape 10.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{2}{1 + 0}$

Étape 10.2.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2}{1}$

Étape 10.3

Divisez $2$ par $1$ .

$2$