Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{z \to 4} z^{\frac{3}{2}} - 3 z^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $z$ approche de $4$ .

$lim_{z \to 4} z^{\frac{3}{2}} - lim_{z \to 4} 3 z^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Déplacez l’exposant $\frac{3}{2}$ de $z^{\frac{3}{2}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{z \to 4} z)}^{\frac{3}{2}} - lim_{z \to 4} 3 z^{\frac{1}{2}}$

Étape 3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $z$ .

${(lim_{z \to 4} z)}^{\frac{3}{2}} - 3 lim_{z \to 4} z^{\frac{1}{2}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $\frac{1}{2}$ de $z^{\frac{1}{2}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{z \to 4} z)}^{\frac{3}{2}} - 3 {(lim_{z \to 4} z)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $z$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $z$ en insérant $4$ pour $z$ .

$4^{\frac{3}{2}} - 3 {(lim_{z \to 4} z)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $z$ en insérant $4$ pour $z$ .

$4^{\frac{3}{2}} - 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{3}{2})} - 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$2^{2 (\frac{3}{2})} - 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$2^{3} - 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$8 - 3 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.1.6

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 - 3 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 6.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$8 - 3 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 6.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$8 - 3 \cdot 2^{1}$

Étape 6.1.8

Évaluez l’exposant.

$8 - 3 \cdot 2$

Étape 6.1.9

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$8 - 6$

Étape 6.2

Soustrayez $6$ de $8$ .

$2$