Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\frac{lim_{h \to 0} 1}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

Étape 1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{1}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

Étape 2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{{(h + 2)}^{2}}$ comme ${(\frac{1}{h + 2})}^{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{h + 2})}^{2} - \frac{1}{4}}{h}$

Étape 2.1.3

Réécrivez $\frac{1}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{h + 2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{h}$

Étape 2.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{1}{h + 2}$ et $b = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(\frac{1}{h + 2} + \frac{1}{2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Étape 2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1

Pour écrire $\frac{1}{h + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Étape 2.1.5.2

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{(\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Étape 2.1.5.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(h + 2) \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.1.5.3.1

Multipliez $\frac{1}{h + 2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Étape 2.1.5.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{(\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} + \frac{h + 2}{2 (h + 2)}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Étape 2.1.5.3.3

Réorganisez les facteurs de $(h + 2) \cdot 2$ .

$\frac{(\frac{2}{2 (h + 2)} + \frac{h + 2}{2 (h + 2)}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Étape 2.1.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 + h + 2}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Étape 2.1.5.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\frac{h + 2 + 2}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Étape 2.1.5.6

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Étape 2.1.5.7

Pour écrire $\frac{1}{h + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}{h}$

Étape 2.1.5.8

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2})}{h}$

Étape 2.1.5.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(h + 2) \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.1.5.9.1

Multipliez $\frac{1}{h + 2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2})}{h}$

Étape 2.1.5.9.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} - \frac{h + 2}{2 (h + 2)})}{h}$

Étape 2.1.5.9.3

Réorganisez les facteurs de $(h + 2) \cdot 2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{2 (h + 2)} - \frac{h + 2}{2 (h + 2)})}{h}$

Étape 2.1.5.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - (h + 2)}{2 (h + 2)}}{h}$

Étape 2.1.5.11

Réécrivez $\frac{2 - (h + 2)}{2 (h + 2)}$ en forme factorisée.

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Étape 2.1.5.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - h - 1 \cdot 2}{2 (h + 2)}}{h}$

Étape 2.1.5.11.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - h - 2}{2 (h + 2)}}{h}$

Étape 2.1.5.11.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{- h + 0}{2 (h + 2)}}{h}$

Étape 2.1.5.11.4

Additionnez $- h$ et $0$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{- h}{2 (h + 2)}}{h}$

Étape 2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot - 1 \frac{h}{2 (h + 2)}}{h}$

Étape 2.1.7

Associez les exposants.

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Étape 2.1.7.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- (\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{h}{2 (h + 2)})}{h}$

Étape 2.1.7.2

Multipliez $\frac{h + 4}{2 (h + 2)}$ par $\frac{h}{2 (h + 2)}$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{2 (h + 2) (2 (h + 2))}}{h}$

Étape 2.1.7.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 (h + 2) (h + 2)}}{h}$

Étape 2.1.7.4

Élevez $h + 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 ({(h + 2)}^{1} (h + 2))}}{h}$

Étape 2.1.7.5

Élevez $h + 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 ({(h + 2)}^{1} {(h + 2)}^{1})}}{h}$

Étape 2.1.7.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{1 + 1}}}{h}$

Étape 2.1.7.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}}}{h}$

Étape 2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- (h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 2.3.2

Factorisez $h$ à partir de $- (h + 4) h$ .

$\frac{h (- (h + 4))}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (- (h + 4))}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 2.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- (h + 4)}{4 {(h + 2)}^{2}}$

Étape 2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{h + 4}{4 {(h + 2)}^{2}}$