Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 1} 1 + 3 x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} 3 x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1 + lim_{x \to 1} 3 x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Étape 1.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 + 3 lim_{x \to 1} x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Étape 1.4

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1 + 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1 + 3 \cdot 1^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 + 3 \cdot 1}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1 + 3}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Étape 3.1.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{4}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{{(3 x^{4} + 4 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.2.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{4}{{(3 x^{4} + 4 (x^{2}) + 1)}^{3}}$

Étape 3.2.1.2.2

Réécrivez $4$ comme $1$ plus $3$

$\frac{4}{{(3 x^{4} + (1 + 3) x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4}{{(3 x^{4} + 1 x^{2} + 3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{4}{{(3 x^{4} + x^{2} + 3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.2.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{4}{{((3 x^{4} + x^{2}) + 3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.2.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{4}{{(x^{2} (3 x^{2} + 1) + 1 (3 x^{2} + 1))}^{3}}$

Étape 3.2.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{{((3 x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}^{3}}$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de produit à $(3 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{4}{{(3 x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{3}}$