Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{y \to 0} 5 y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$

Étape 1

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{y \to 0^{-}} 5 y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$

Étape 2

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

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Étape 2.1

Évaluez la limite de $5 y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$ en insérant $0$ pour $y$ .

$5 \cdot 0^{2 \cot (- 5 \cdot 0) \csc (- 8 \cdot 0)}$

Étape 2.2

Réécrivez $\cot (- 5 \cdot 0)$ en termes de sinus et de cosinus.

$5 \cdot 0^{2 \frac{\cos (- 5 \cdot 0)}{\sin (- 5 \cdot 0)} \csc (- 8 \cdot 0)}$

Étape 2.3

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$5 \cdot 0^{2 \frac{\cos (- 5 \cdot 0)}{\sin (0)} \csc (- 8 \cdot 0)}$

Étape 2.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$5 \cdot 0^{2 \frac{\cos (- 5 \cdot 0)}{0} \csc (- 8 \cdot 0)}$

Étape 2.5

Comme $5 \cdot 0^{2 \frac{\cos (- 5 \cdot 0)}{0} \csc (- 8 \cdot 0)}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 3

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{y \to 0^{+}} 5 y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$

Étape 4

Évaluez la limite côté droit.

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Étape 4.1

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $y$ .

$5 lim_{y \to 0^{+}} y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$

Étape 4.2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$ comme $e^{\ln (y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))})}$ .

$5 lim_{y \to 0^{+}} e^{\ln (y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))})}$

Étape 4.2.2

Développez $\ln (y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))})$ en déplaçant $2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))$ hors du logarithme.

$5 lim_{y \to 0^{+}} e^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y)) \ln (y)}$

Étape 4.3

Comme l’exposant $2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y)) \ln (y)$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y)) \ln (y)}$ approche de $0$ .

$5 \cdot 0$

Étape 4.4

Multipliez $5$ par $0$ .

$0$

Étape 5

Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$