Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{y \to 4} \frac{7 y^{2} - 7}{8 y^{2} {(y - 1)}^{3}}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{8}$ hors de la limite car il constant par rapport à $y$ .

$\frac{1}{8} lim_{y \to 4} \frac{7 y^{2} - 7}{y^{2} {(y - 1)}^{3}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $4$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{lim_{y \to 4} 7 y^{2} - 7}{lim_{y \to 4} y^{2} {(y - 1)}^{3}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $4$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{lim_{y \to 4} 7 y^{2} - lim_{y \to 4} 7}{lim_{y \to 4} y^{2} {(y - 1)}^{3}}$

Étape 4

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $y$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{7 lim_{y \to 4} y^{2} - lim_{y \to 4} 7}{lim_{y \to 4} y^{2} {(y - 1)}^{3}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $y^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{7 {(lim_{y \to 4} y)}^{2} - lim_{y \to 4} 7}{lim_{y \to 4} y^{2} {(y - 1)}^{3}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $y$ approche de $4$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{7 {(lim_{y \to 4} y)}^{2} - 1 \cdot 7}{lim_{y \to 4} y^{2} {(y - 1)}^{3}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $4$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{7 {(lim_{y \to 4} y)}^{2} - 1 \cdot 7}{lim_{y \to 4} y^{2} \cdot lim_{y \to 4} {(y - 1)}^{3}}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $y^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{7 {(lim_{y \to 4} y)}^{2} - 1 \cdot 7}{{(lim_{y \to 4} y)}^{2} \cdot lim_{y \to 4} {(y - 1)}^{3}}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $3$ de ${(y - 1)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{7 {(lim_{y \to 4} y)}^{2} - 1 \cdot 7}{{(lim_{y \to 4} y)}^{2} \cdot {(lim_{y \to 4} y - 1)}^{3}}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $4$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{7 {(lim_{y \to 4} y)}^{2} - 1 \cdot 7}{{(lim_{y \to 4} y)}^{2} \cdot {(lim_{y \to 4} y - lim_{y \to 4} 1)}^{3}}$

Étape 11

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $y$ approche de $4$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{7 {(lim_{y \to 4} y)}^{2} - 1 \cdot 7}{{(lim_{y \to 4} y)}^{2} \cdot {(lim_{y \to 4} y - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $y$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $y$ en insérant $4$ pour $y$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{7 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 7}{{(lim_{y \to 4} y)}^{2} \cdot {(lim_{y \to 4} y - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $y$ en insérant $4$ pour $y$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{7 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 7}{4^{2} \cdot {(lim_{y \to 4} y - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $y$ en insérant $4$ pour $y$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{7 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 7}{4^{2} \cdot {(4 - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{7 \cdot 16 - 1 \cdot 7}{4^{2} \cdot {(4 - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Étape 13.1.2

Multipliez $7$ par $16$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{112 - 1 \cdot 7}{4^{2} \cdot {(4 - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{112 - 7}{4^{2} \cdot {(4 - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Étape 13.1.4

Soustrayez $7$ de $112$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{105}{4^{2} \cdot {(4 - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{105}{4^{2} {(4 - 1)}^{3}}$

Étape 13.2.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{105}{4^{2} \cdot 3^{3}}$

Étape 13.2.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{105}{16 \cdot 3^{3}}$

Étape 13.2.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{105}{16 \cdot 27}$

Étape 13.3

Multipliez $16$ par $27$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{105}{432}$

Étape 13.4

Annulez le facteur commun à $105$ et $432$ .

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Étape 13.4.1

Factorisez $3$ à partir de $105$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 (35)}{432}$

Étape 13.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $432$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 \cdot 35}{3 \cdot 144}$

Étape 13.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 \cdot 35}{3 \cdot 144}$

Étape 13.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{35}{144}$

Étape 13.5

Multipliez $\frac{1}{8} \cdot \frac{35}{144}$ .

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Étape 13.5.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{35}{144}$ .

$\frac{35}{8 \cdot 144}$

Étape 13.5.2

Multipliez $8$ par $144$ .

$\frac{35}{1152}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{35}{1152}$

Forme décimale :

$0.03038194 \dots$