Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{e^{\frac{1}{x}}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln ({(x)}^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x}}}$

Étape 1.1.2

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln ({(x)}^{2})$ diminue sans borne.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x}}}$

Étape 1.1.3

Comme l’exposant $\frac{1}{x}$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{\frac{1}{x}}$ approche de $\infty$ .

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 1.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{e^{\frac{1}{x}}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln ({(x)}^{2})]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln ({(x)}^{2})]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = {(x)}^{2}$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme ${(x)}^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par ${(x)}^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Étape 1.3.4

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Étape 1.3.5

Associez $\frac{2}{x^{2}}$ et $x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Étape 1.3.6

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.3.6.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Étape 1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Étape 1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Étape 1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 1.3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 1.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 1.3.8

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Étape 1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})}$

Étape 1.3.10

Simplifiez

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Étape 1.3.10.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})}$

Étape 1.3.10.2

Associez $e^{\frac{1}{x}}$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{x} (- \frac{x^{2}}{e^{\frac{1}{x}}})$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $\frac{x^{2}}{e^{\frac{1}{x}}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{2 x^{2}}{x e^{\frac{1}{x}}}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.6.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (2 x)}{x e^{\frac{1}{x}}}$

Étape 1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x e^{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (2 x)}{x (e^{\frac{1}{x}})}$

Étape 1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (2 x)}{x e^{\frac{1}{x}}}$

Étape 1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{2 x}{e^{\frac{1}{x}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{e^{\frac{1}{x}}}$

Étape 2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{e^{\frac{1}{x}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{x}{e^{\frac{1}{x}}}$ approche de $0$ .

$- 2 \cdot 0$

Étape 4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0$