Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x - 1 - \ln (x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Étape 1.1.3.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1 - \ln (lim_{x \to 1} x)}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \ln (lim_{x \to 1} x)}$

Étape 1.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \ln (1)}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 - \ln (1)}$

Étape 1.1.3.5.1.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 - 0}$

Étape 1.1.3.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

Étape 1.1.3.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.1.3.5.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x - 1 - \ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1 - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}$

Étape 1.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 1.3.9.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + 0 - \frac{1}{x}}$

Étape 1.3.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$

Étape 1.3.10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{- \frac{1}{x} + 1}$

Étape 1.4

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{- \frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

Étape 1.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{- 1 + x}{x}}$

Étape 2

Comme la fonction approche de $- \infty$ depuis la gauche et $\infty$ depuis la droite, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$