Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{x} {(3 + 5 x)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(3 + 5 x)}^{2}$ comme $(3 + 5 x) (3 + 5 x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} ((3 + 5 x) (3 + 5 x))]$

Étape 2

Développez $(3 + 5 x) (3 + 5 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [e^{x} (3 (3 + 5 x) + 5 x (3 + 5 x))]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [e^{x} (3 \cdot 3 + 3 (5 x) + 5 x (3 + 5 x))]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [e^{x} (3 \cdot 3 + 3 (5 x) + 5 x \cdot 3 + 5 x (5 x))]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 3 (5 x) + 5 x \cdot 3 + 5 x (5 x))]$

Étape 3.1.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 15 x + 5 x \cdot 3 + 5 x (5 x))]$

Étape 3.1.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 15 x + 15 x + 5 x (5 x))]$

Étape 3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 15 x + 15 x + 5 \cdot 5 x \cdot x)]$

Étape 3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 15 x + 15 x + 5 \cdot 5 (x \cdot x))]$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 15 x + 15 x + 5 \cdot 5 x^{2})]$

Étape 3.1.6

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 15 x + 15 x + 25 x^{2})]$

Étape 3.2

Additionnez $15 x$ et $15 x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 30 x + 25 x^{2})]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 9 + 30 x + 25 x^{2}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [9 + 30 x + 25 x^{2}] + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 + 30 x + 25 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 5.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 5.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 5.4

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30 x$ par rapport à $x$ est $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} (30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x} (30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 5.6

Multipliez $30$ par $1$ .

$e^{x} (30 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 5.7

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25 x^{2}$ par rapport à $x$ est $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{x} (30 + 25 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x} (30 + 25 (2 x)) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 5.9

Multipliez $2$ par $25$ .

$e^{x} (30 + 50 x) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} (30 + 50 x) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) e^{x}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} \cdot 30 + e^{x} (50 x) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) e^{x}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} \cdot 30 + e^{x} (50 x) + 9 e^{x} + 30 x e^{x} + 25 x^{2} e^{x}$

Étape 7.3

Associez des termes.

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Étape 7.3.1

Déplacez $30$ à gauche de $e^{x}$ .

$30 \cdot e^{x} + e^{x} (50 x) + 9 e^{x} + 30 x e^{x} + 25 x^{2} e^{x}$

Étape 7.3.2

Additionnez $30 e^{x}$ et $9 e^{x}$ .

$e^{x} (50 x) + 39 e^{x} + 30 x e^{x} + 25 x^{2} e^{x}$

Étape 7.3.3

Additionnez $e^{x} (50 x)$ et $30 x e^{x}$ .

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Étape 7.3.3.1

Déplacez $e^{x}$ .

$50 x e^{x} + 30 x e^{x} + 39 e^{x} + 25 x^{2} e^{x}$

Étape 7.3.3.2

Additionnez $50 x e^{x}$ et $30 x e^{x}$ .

$80 x e^{x} + 39 e^{x} + 25 x^{2} e^{x}$

Étape 7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$80 e^{x} x + 25 e^{x} x^{2} + 39 e^{x}$

Étape 7.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $80 e^{x} x + 25 e^{x} x^{2} + 39 e^{x}$ .

$80 x e^{x} + 25 x^{2} e^{x} + 39 e^{x}$