Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} (\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}) (1)$

Étape 1

Multipliez $\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} \log_{4} (x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\log_{4} (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\log_{4} (1)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Étape 2.1.2.3

La base logarithmique $4$ de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{\log_{2} (lim_{x \to 1} x)}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{\log_{2} (1)}$

Étape 2.1.3.3

La base logarithmique $2$ de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\log_{4} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Étape 2.3.3

La dérivée de $\log_{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (4)} (x \ln (2))$

Étape 2.5

Combinez les facteurs.

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Étape 2.5.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x}{x \ln (4)} \ln (2)$

Étape 2.5.2

Associez $\frac{x}{x \ln (4)}$ et $\ln (2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

Étape 2.6.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

Étape 3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$\frac{\ln (2)}{\ln (2^{2})}$

Étape 3.2.2

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$