Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\cos (π x) + 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + 1}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + 1}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + 1}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + 1}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + 1}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + 1}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.3

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\cos (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{\cos (π lim_{x \to 1} x) + 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{\cos (π \cdot 1) + 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{0}{\cos (π) + 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{0}{- \cos (0) + 1}$

Étape 1.1.3.3.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 + 1}$

Étape 1.1.3.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\cos (π x) + 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + 1]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + 1]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + 1]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + 1]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + 1]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (π x) + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$ .

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Étape 1.3.7.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 1.3.7.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.7.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.7.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.7.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{- \sin (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.7.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{- \sin (π x) π + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{- \sin (π x) π + 0}$

Étape 1.3.9

Simplifiez

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Étape 1.3.9.1

Additionnez $- \sin (π x) π$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{- \sin (π x) π}$

Étape 1.3.9.2

Réorganisez les facteurs de $- \sin (π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{- π \sin (π x)}$

Étape 2

Comme la fonction approche de $- \infty$ depuis la gauche et $\infty$ depuis la droite, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$