Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} (\sqrt{x}) e^{\cos (\frac{π}{x})}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 0^{+}} e^{\cos (\frac{π}{x})}$

Étape 1.2

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{x \to 0^{+}} x} \cdot lim_{x \to 0^{+}} e^{\cos (\frac{π}{x})}$

Étape 1.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\sqrt{lim_{x \to 0^{+}} x} \cdot e^{lim_{x \to 0^{+}} \cos (\frac{π}{x})}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\sqrt{0} \cdot e^{lim_{x \to 0^{+}} \cos (\frac{π}{x})}$

Étape 3

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\cos (\frac{π}{x})$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 1 \\ 0.01 & 1 \\ 0.001 & - 0.66711772 \\ 0.0001 & - 0.10775036 \\ 0.00001 & 0.87550456 \\ 0.000001 & 0.98459857 \\ 0.0000001 & - 0.99950431 \\ 0.00000001 & 0.67066438 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0.99999999 \end{array}$

Étape 4

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $1$ . Ainsi, la limite de $\cos (\frac{π}{x})$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit est $1$ .

$\sqrt{0} \cdot e^{1}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} \cdot e^{1}$

Étape 5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$0 \cdot e^{1}$

Étape 5.3

Simplifiez

$0 \cdot e$

Étape 5.4

Multipliez $0$ par $e$ .

$0$