Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x^{2})}{x^{3}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 + x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.1.2.1.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\ln (1 + {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.1.2.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.1.2.3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Étape 1.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x^{2})}{x^{3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.7

Associez $2$ et $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{1 + x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.8

Associez $\frac{2}{1 + x^{2}}$ et $x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}{3 x^{2}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ par $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{(x^{2} + 1) (3 x^{2})}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.6.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot 2}{(x^{2} + 1) (3 x^{2})}$

Étape 1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $(x^{2} + 1) (3 x^{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot 2}{x ((x^{2} + 1) (3 x))}$

Étape 1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot 2}{x ((x^{2} + 1) (3 x))}$

Étape 1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{(x^{2} + 1) (3 x)}$

Étape 2

Comme le numérateur est positif et le dénominateur $(x^{2} + 1) (3 x)$ approche de zéro et est supérieur à zéro pour $x$ près de $0$ vers la droite, la fonction augmente sans borne.

$\infty$